Trong thế giới tài chính, các mô hình định giá Black-Scholes và các mô hình định giá nhị thức là hai trong số những khái niệm quan trọng nhất trong lý thuyết tài chính hiện đại. Cả hai đều được sử dụng để đánh giá một lựa chọn, và mỗi người đều có những lợi thế và bất lợi riêng của mình.

Một số lợi ích cơ bản của việc sử dụng mô hình nhị thức là:

• xem nhiều lần
• minh bạch
• khả năng kết hợp xác suất

Trong bài này, chúng ta sẽ khám phá những lợi ích của việc sử dụng mô hình nhị thức thay vì Black-Scholes, cung cấp một số bước cơ bản để phát triển mô hình và giải thích nó được sử dụng như thế nào.

Chế độ xem nhiều lần

Mô hình nhị thức cho phép xem nhiều giá tài sản cơ bản cũng như giá của lựa chọn. Ngược lại với mô hình Black-Scholes, cung cấp một kết quả số dựa trên các đầu vào, mô hình nhị thức cho phép tính toán tài sản và lựa chọn cho nhiều khoảng thời gian cùng với phạm vi của các kết quả có thể có trong từng khoảng thời gian (xem bên dưới).
Lợi thế của chế độ xem đa thời gian này là người sử dụng có thể hình dung được sự thay đổi giá tài sản từ giai đoạn này sang giai đoạn khác và đánh giá các lựa chọn dựa trên việc ra quyết định tại các thời điểm khác nhau. Đối với một lựa chọn của Mỹ, có thể được thực hiện vào bất kỳ thời điểm nào trước ngày hết hạn, mô hình nhị thức có thể cung cấp cái nhìn sâu sắc khi thực hiện lựa chọn có thể trông hấp dẫn và khi nào nó cần phải được giữ lâu hơn. Bằng cách nhìn vào cây nhị thức của các giá trị, người ta có thể xác định trước khi một quyết định tập thể dục có thể xảy ra. Nếu lựa chọn có giá trị dương, có khả năng tập thể dục, trong khi nếu nó có giá trị nhỏ hơn không, nó nên ông giữ cho thời gian dài hơn.

Sự liên quan chặt chẽ đến việc xem xét nhiều lần là khả năng của mô hình nhị thức để cung cấp tính minh bạch vào giá trị cơ bản của tài sản và tùy chọn khi nó tiến triển theo thời gian. Mô hình Black-Scholes có năm đầu vào:

Tỷ lệ không có rủi ro

Giá thực hiện

Giá hiện tại của tài sản
Thời gian đáo hạn

1. Độ biến động tức thời của giá tài sản
2. Khi các điểm dữ liệu này được nhập vào mô hình Black-Scholes, mô hình tính toán giá trị cho phương án này, nhưng tác động của các yếu tố này không được tiết lộ trên cơ sở từng giai đoạn. Với mô hình nhị thức, người ta có thể thấy sự thay đổi giá tài sản cơ bản từ giai đoạn này sang giai đoạn khác và sự thay đổi tương ứng gây ra trong giá quyền chọn.
3. Kết hợp các xác suất
4. Phương pháp cơ bản để tính toán mô hình tùy chọn nhị thức là sử dụng cùng một xác suất cho mỗi giai đoạn thành công và thất bại cho đến khi hết hạn tùy chọn. Tuy nhiên, người ta có thể kết hợp các xác suất khác nhau cho mỗi giai đoạn dựa trên thông tin mới thu được khi thời gian trôi qua.
5. Chẳng hạn, có thể có 50/50 cơ hội giá tài sản cơ bản có thể tăng hoặc giảm 30% trong một khoảng thời gian.Tuy nhiên, trong khoảng thời gian thứ hai, xác suất giá tài sản cơ bản sẽ tăng lên có thể tăng lên 70/30. Giả sử chúng ta đang đánh giá giếng dầu; chúng ta không chắc chắn giá trị của dầu đó là gì, nhưng có một cơ hội 50/50 rằng giá sẽ tăng lên. Nếu giá dầu tăng lên trong giai đoạn 1, làm cho giá dầu có giá trị hơn, và các nguyên tắc cơ bản của thị trường cho thấy giá dầu tăng liên tục, thì xác suất tăng giá có thể lên tới 70%. Mô hình nhị phân cho phép tính linh hoạt này; mô hình Black-Scholes không có.

Phát triển Mô hình

Mô hình nhị phân đơn giản nhất sẽ có hai lợi nhuận kỳ vọng, có xác suất tăng thêm 100%. Trong ví dụ của chúng tôi, có thể có hai kết quả có thể xảy ra đối với giếng dầu tại mỗi thời điểm. Một phiên bản phức tạp hơn có thể có ba hoặc nhiều kết quả khác nhau, mỗi trong số đó được đưa ra một xác suất xảy ra.
Để tính toán lợi nhuận trong một khoảng thời gian bắt đầu từ thời điểm không (bây giờ), chúng ta phải xác định giá trị của tài sản cơ bản một giai đoạn từ bây giờ. Trong ví dụ này, chúng ta sẽ giả định như sau:

Giá của tài sản cơ bản (P): $ 500

Giá thực hiện quyền chọn mua (K): $ 600
Tỷ lệ không có rủi ro trong kỳ: 1%

Thay đổi giá mỗi giai đoạn: tăng hoặc giảm giá 30%

• Giá của tài sản cơ bản là 500 đô la, và trong giai đoạn 1, giá trị có thể là 650 đô la hoặc 350 đô la. Điều đó có thể tương đương với mức tăng hoặc giảm 30% trong một thời kỳ. Vì giá thực hiện các lựa chọn cuộc gọi mà chúng tôi đang nắm giữ là 600 đô la, nếu tài sản cơ bản kết thúc dưới 600 đô la, giá trị của quyền chọn mua sẽ là 0. Mặt khác, nếu tài sản cơ bản vượt quá giá thực hiện 600 đô la, giá trị của quyền chọn mua sẽ là sự khác biệt giữa giá của tài sản cơ bản và giá thực hiện. Công thức tính toán này là [max (P-K), 0].
• Giả sử có 50% cơ hội đi lên và 50% cơ hội đi xuống. Sử dụng các giá trị Giai đoạn 1 làm ví dụ, điều này được tính bằng [max (650-600, 0) * 50%] + [max (350-600, 0) * 50%] = 50 * 50% + 0 * 50% = 25 đô la. Để nhận giá trị hiện tại của tùy chọn cuộc gọi, chúng tôi cần giảm giá $ 25 trong khoảng thời gian 1 trở lại khoảng thời gian 0, tức là $ 25 / (1 + 1%) = 24 đô la. 75. Bây giờ bạn có thể thấy rằng nếu xác suất được thay đổi, giá trị kỳ vọng của tài sản cơ bản cũng sẽ thay đổi. Nếu xác suất thay đổi, nó cũng có thể được thay đổi cho mỗi giai đoạn tiếp theo và không nhất thiết phải giữ nguyên trong suốt.
• Mô hình nhị thức có thể được mở rộng dễ dàng đến nhiều thời kỳ. Mặc dù mô hình Black-Scholes có thể tính kết quả của một ngày hết hạn mở rộng, mô hình nhị thức mở rộng quyết định trỏ đến nhiều thời kỳ.
• Sử dụng cho mô hình nhị phân

Bên cạnh việc được sử dụng để tính toán giá trị của một tùy chọn, mô hình đôi cũng có thể được sử dụng cho các dự án hoặc đầu tư có mức độ không chắc chắn, quyết định ngân sách và quyết định phân bổ nguồn lực cao, như cũng như các dự án có nhiều giai đoạn hoặc tùy chọn được nhúng để tiếp tục hoặc bỏ qua tại một số điểm nhất định.

Một ví dụ đơn giản là một dự án đòi hỏi việc khoan dầu. Sự không chắc chắn của dự án này phát sinh do sự thiếu minh bạch của việc liệu đất có được khoan dầu có ở tất cả hay không, số lượng dầu có thể được khoan, nếu dầu được tìm thấy và giá mà dầu có thể được bán một lần trích xuất.

Mô hình tùy chọn nhị thức có thể giúp đưa ra các quyết định tại mỗi điểm của dự án khoan dầu. Ví dụ, giả định chúng tôi quyết định khoan, nhưng giếng dầu sẽ chỉ có lợi nếu chúng ta tìm đủ dầu và giá dầu vượt quá một lượng nhất định. Sẽ mất một khoảng thời gian để xác định lượng dầu mà chúng ta có thể chiết xuất cũng như giá dầu tại thời điểm đó. Sau giai đoạn đầu tiên (ví dụ một năm), chúng ta có thể quyết định dựa trên hai điểm dữ liệu này để tiếp tục khoan hay bỏ dự án. Những quyết định này có thể được liên tục thực hiện cho đến khi đạt đến một điểm mà không có giá trị để khoan, lúc đó giếng sẽ bị bỏ rơi.

Dòng dưới cùng
Mô hình nhị thức cho phép xem các giá trị cơ bản và giá của một trong nhiều khoảng thời gian cũng như phạm vi của các kết quả có thể cho từng giai đoạn, cung cấp một cái nhìn chi tiết hơn. Mặc dù cả hai mô hình Black-Scholes và mô hình nhị thức có thể được sử dụng để đánh giá các tùy chọn, mô hình nhị thức đơn giản chỉ có một phạm vi ứng dụng rộng hơn, trực quan hơn và dễ sử dụng hơn.