Sự phân bố thông thường (Chuông thập phân)

Tập dữ liệu (như chiều cao 100 người, dấu hiệu thu được của 45 học sinh trong một lớp, vv) có xu hướng có nhiều giá trị tại cùng một điểm dữ liệu hoặc trong cùng phạm vi. Việc phân phối các điểm dữ liệu này được gọi là sự phân bố đường cong bình thường hoặc chuông. Ví dụ, trong một nhóm 100 cá thể, 10 có thể dưới 5 feet cao, 65 có thể đứng giữa 5 và 5. 5 feet và 25 có thể ở trên 5. 5 feet. Sự phân bố giới hạn này có thể được vẽ như sau:

Tương tự, các điểm dữ liệu được vẽ trên đồ thị cho bất kỳ bộ dữ liệu nhất định có thể giống với các loại phân bố khác nhau. Ba trong số phổ biến nhất là các phân bố được canh lề phải, liên kết phải và lộn xộn:

Lưu ý đường xu hướng màu đỏ trong mỗi đồ thị này. Điều này cho thấy xu hướng phân phối dữ liệu. Thứ nhất, "LEFT Aligned Distribution", cho thấy phần lớn các điểm dữ liệu nằm trong dải thấp hơn. Trong biểu đồ "RIGHT Aligned Distribution" thứ hai, phần lớn các điểm dữ liệu nằm ở cuối cao hơn của dải, trong khi "Jumbled Distribution" cuối cùng đại diện cho một tập dữ liệu hỗn hợp mà không có xu hướng rõ ràng.

Có rất nhiều trường hợp phân bố các điểm dữ liệu có xu hướng xung quanh một giá trị trung tâm, và đồ thị đó cho thấy sự phân bố bình thường hoàn hảo, cân bằng nhau ở cả hai mặt với số lượng điểm dữ liệu cao nhất tập trung ở trung tâm.

Đây là một bộ dữ liệu hoàn hảo, bình thường được phân phối.

Giá trị trung tâm ở đây là 50, có nhiều điểm dữ liệu nhất và phân phối giảm dần theo các giá trị cực trị là 0 và 100, có ít điểm dữ liệu nhất. Sự phân bố bình thường đối xứng xung quanh giá trị trung tâm với một nửa giá trị ở mỗi bên.

- Rất nhiều ví dụ trong cuộc sống thực thích hợp với việc phân phối đường cong chuông:

Quẳng một đồng xu công bằng nhiều lần (nói 100 lần hoặc hơn) và bạn sẽ nhận được sự phân bố bình thường của đầu và đuôi.

• Lắc một đôi dice hợp pháp nhiều lần (nói 100 lần hoặc hơn) và kết quả sẽ là cân bằng, phân bố bình thường tập trung quanh số 7 và thu hẹp đều theo các giá trị cực trị của 2 và 12.
• chiều cao của các cá nhân trong một nhóm có kích thước đáng kể và các dấu hiệu thu được bởi những người trong một lớp học đều theo các mô hình phân phối bình thường.
• Trong tài chính, thay đổi giá trị log của
• tỷ giá hối đoái, chỉ số giá, và giá cổ phiếu được cho là thường phân phối.Quan hệ Tài chính và Đầu tư

Bất kỳ đầu tư nào có hai khía cạnh: rủi ro và lợi nhuận. Các nhà đầu tư tìm kiếm rủi ro thấp nhất có thể cho lợi nhuận cao nhất có thể. Phân phối bình thường định lượng hai khía cạnh này bằng giá trị trung bình đối với lợi nhuận và độ lệch chuẩn đối với rủi ro.(

Mean-Variance Analysis .) Giá trị trung bình

hoặc Giá trị dự kiến ​​ Giá của một cổ phiếu cụ thể có nghĩa là thay đổi có thể là 1. 5% trên cơ sở hàng ngày - có nghĩa là trung bình, nó sẽ tăng thêm 5,5%. Giá trị trung bình hoặc giá trị kỳ vọng có thể đạt được bằng cách tính toán trung bình trên một tập dữ liệu đủ lớn chứa các thay đổi giá hàng ngày trong lịch sử của cổ phiếu đó. Các trung bình càng cao thì càng tốt.

Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn cho biết số tiền mà giá trị này đi chệch từ trung bình. Độ lệch chuẩn cao hơn, sự đầu tư rủi ro hơn, vì nó dẫn đến sự không chắc chắn hơn.

Dưới đây là một biểu đồ đồ họa giống nhau:

Do đó, sự biểu diễn đồ họa của sự phân bố thông thường thông qua độ lệch chuẩn và độ lệch tiêu chuẩn, cho phép biểu diễn cả lợi nhuận và rủi ro trong một phạm vi xác định rõ ràng.

Giúp biết (và được đảm bảo chắc chắn) rằng nếu một số tập dữ liệu tuân theo mô hình phân phối bình thường thì trung bình của nó sẽ cho phép chúng ta biết được kết quả mong đợi, và độ lệch tiêu chuẩn của nó sẽ cho phép chúng ta biết rằng khoảng 68% các giá trị sẽ ở trong độ lệch chuẩn 1, 95% trong phạm vi 2 độ lệch chuẩn và 99% giá trị sẽ nằm trong 3 độ lệch chuẩn. Một tập dữ liệu có nghĩa là 1. 5 và độ lệch tiêu chuẩn là 1 có nhiều rủi ro hơn tập dữ liệu khác có ý nghĩa là 1. 5 và độ lệch chuẩn là 0. 1.

Biết được các giá trị này cho mỗi tài sản được lựa chọn (ví dụ: chứng khoán, trái phiếu và quỹ) sẽ làm cho một nhà đầu tư nhận thức được lợi nhuận và rủi ro dự kiến.

Thật dễ áp ​​dụng khái niệm này và thể hiện rủi ro và lợi nhuận trên một cổ phiếu, trái phiếu hoặc quỹ, nhưng có thể mở rộng ra danh mục đầu tư của nhiều tài sản không?

Cá nhân bắt đầu giao dịch bằng cách mua một cổ phiếu hoặc trái phiếu, hoặc đầu tư vào một quỹ tương hỗ. Dần dần, họ có xu hướng tăng cổ phần và mua nhiều cổ phiếu, quỹ hoặc các tài sản khác, từ đó tạo ra danh mục đầu tư. Trong kịch bản gia tăng này, các cá nhân xây dựng danh mục đầu tư của họ mà không có một chiến lược hoặc nhiều suy nghĩ trước. Các nhà quản lý quỹ chuyên nghiệp, các nhà kinh doanh và các nhà hoạch định thị trường làm theo một phương pháp có hệ thống để xây dựng danh mục đầu tư sử dụng phương pháp toán học được gọi là lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại (MPT) được xây dựng trên khái niệm "phân phối bình thường". Lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại cung cấp một cách tiếp cận toán học có hệ thống nhằm tối đa hóa lợi tức mong muốn của một danh mục đầu tư đối với một lượng rủi ro danh mục đầu tư nhất định bằng cách lựa chọn tỷ lệ của các tài sản khác nhau. Ngoài ra, nó cũng cung cấp để giảm thiểu rủi ro cho một mức cụ thể của trở về dự kiến.

Để đạt được mục tiêu này, tài sản được đưa vào danh mục đầu tư không nên được lựa chọn dựa trên công việc cá nhân của họ mà thay vào đó mỗi tài sản sẽ thực hiện như thế nào so với các tài sản khác trong danh mục đầu tư.

Tóm lại, MPT xác định làm thế nào để đạt được sự đa dạng hóa danh mục đầu tư tốt nhất để có kết quả tốt nhất: lợi nhuận tối đa cho mức rủi ro chấp nhận được hoặc rủi ro tối thiểu cho một mức lợi nhuận mong muốn.

Các khối xây dựng

MPT là một khái niệm mang tính cách mạng khi nó được giới thiệu rằng các nhà phát minh của nó đã giành được giải Nobel. Lý thuyết này thành công cung cấp một công thức toán học để hướng dẫn đa dạng hóa trong đầu tư.

Đa dạng hóa là một kỹ thuật quản lý rủi ro, loại bỏ rủi ro "tất cả trứng trong một giỏ" bằng cách đầu tư vào các cổ phiếu, ngành hoặc loại tài sản không tương quan. Lý tưởng nhất là việc thực hiện tích cực một tài sản trong danh mục đầu tư sẽ hủy bỏ hiệu quả tiêu cực của các tài sản khác.

Để tính lợi nhuận trung bình của danh mục có

n

các tài sản khác nhau, tính tỷ trọng theo tỷ lệ của lợi nhuận của các tài sản cấu thành được tính toán. Do tính toán thống kê và phân phối bình thường, tổng lợi nhuận danh mục đầu tư (R

p ) được tính như sau: tổng (Σ) trong đó _i là trọng lượng tương ứng tài sản i trong danh mục đầu tư, R

i _{là lợi tức (trung bình) của tài sản i.} Rủi ro danh mục đầu tư (hoặc độ lệch tiêu chuẩn) là một hàm của mối tương quan của tài sản được bao gồm, cho tất cả các cặp tài sản (đối với nhau trong cặp). Do tính toán thống kê và phân bố chuẩn, rủi ro danh mục đầu tư tổng thể (Std-dev) _p được tính như sau:

Trong đó cor-cof là hệ số tương quan giữa lợi nhuận của tài sản i và j, và sqrt là căn bậc hai. _{Điều này sẽ quan tâm đến hiệu suất tương đối của mỗi tài sản đối với tài sản khác.} Mặc dù xuất hiện phức tạp về mặt toán học, khái niệm đơn giản được áp dụng ở đây không chỉ bao gồm độ lệch tiêu chuẩn của các tài sản cá nhân, mà còn cả các độ lệch tiêu chuẩn đối với nhau.

Một ví dụ tốt có tại đây từ Đại học Washington.

Ví dụ nhanh

Là một thử nghiệm tư tưởng, chúng ta hãy tưởng tượng chúng ta là một nhà quản lý danh mục đầu tư đã được cấp vốn và được giao nhiệm vụ phân bổ vốn cho hai tài sản có sẵn (A & B) lợi tức tối đa và rủi ro thấp nhất.

Chúng tôi cũng có các giá trị sau:

R

a

= 0.75

R _b = 0. 055

(Std-dev) < a _{= 0. 258} (Std-dev)

b _{= 0. 115} (Std-dev)

ab _{= -0. 004875} (Cor-cof)

ab _{= -0. 164} Bắt đầu với việc phân bổ 50-50 cho mỗi A & B, R p

tính là 0. 115 và (Std-dev) _p đến 0. 1323 Một so sánh đơn giản cho chúng ta biết rằng đối với danh mục tài sản này, lợi nhuận cũng như rủi ro là giữa các giá trị riêng lẻ của từng tài sản.

Tuy nhiên, mục tiêu của chúng tôi là cải thiện sự trở lại của danh mục đầu tư vượt quá mức trung bình của từng tài sản riêng lẻ và giảm rủi ro để nó thấp hơn tài sản cá nhân. _{Bây giờ chúng ta hãy lấy một vị trí phân bổ vốn 1. 5 trong tài sản A, và -0. 5 vị trí phân bổ vốn trong tài sản B. (Phân phối vốn tiêu cực có nghĩa là rút ngắn nguồn vốn và vốn nhận được để mua thặng dư tài sản khác với sự phân bổ vốn tích cực) Nói cách khác, chúng ta đang rút ngắn cổ phiếu B bằng 0.5 lần vốn và sử dụng số tiền đó để mua cổ phiếu A cho số tiền 1. 5 lần vốn)} Sử dụng các giá trị này, chúng tôi nhận được R _p là 0. 1604 và (Std-dev) < p

như 0. 4005.

Tương tự, chúng ta có thể tiếp tục sử dụng trọng số phân bổ khác nhau cho tài sản A & B, và đến các bộ khác nhau của Rp và (Std-dev) p. Theo sự trở lại mong muốn (Rp), người ta có thể chọn mức rủi ro chấp nhận được tốt nhất (std-dev) p. Ngoài ra, đối với mức rủi ro mong muốn, người ta có thể lựa chọn danh mục đầu tư có sẵn tốt nhất. Dù bằng cách nào, thông qua mô hình toán học của Lý thuyết danh mục này, có thể đạt được mục tiêu tạo ra một danh mục đầu tư hiệu quả với sự kết hợp rủi ro và lợi nhuận mong muốn.

Việc sử dụng các công cụ tự động cho phép dễ dàng và dễ dàng phát hiện tỷ lệ phân bổ tốt nhất có thể một cách dễ dàng, mà không cần phải tính toán bằng tay dài. _{Biên giới hiệu quả, Mô hình định giá tài sản vốn (CAPM) và định giá tài sản sử dụng MPT cũng phát triển từ mô hình phân phối bình thường giống nhau và là một phần mở rộng cho MPT.} Những thách thức đối với MPT (và phân bố chuẩn cơ bản): _{Thật không may, không có mô hình toán học hoàn hảo và từng có bất cập và hạn chế.} Giả thiết cơ bản rằng giá cổ phiếu trở lại theo phân phối bình thường chính nó là câu hỏi nhiều lần. Có bằng chứng thực nghiệm đầy đủ về các trường hợp mà các giá trị không tuân theo phân phối chuẩn giả định. Dựa trên các mô hình phức tạp trên các giả định như vậy có thể dẫn đến các kết quả có độ lệch lớn.

Thêm vào MPT, tính toán và giả định về hệ số tương quan và hiệp phương sai vẫn còn cố định (dựa trên dữ liệu lịch sử) có thể không nhất thiết phải đúng với các giá trị dự kiến ​​trong tương lai. Chẳng hạn, thị trường trái phiếu và chứng khoán cho thấy mối tương quan hoàn hảo trên thị trường Anh trong giai đoạn 2001-2004, trong đó lợi nhuận từ cả hai tài sản giảm cùng một lúc. Trong thực tế, điều ngược lại đã được quan sát trong những khoảng thời gian lịch sử lâu dài trước năm 2001.

Hành vi của nhà đầu tư không được xem xét trong mô hình toán học này. Thuế và chi phí giao dịch bị bỏ mặc, mặc dù phân bổ phần phân số và khả năng thiếu tài sản được giả định.

Trong thực tế, không có giả định nào có thể đúng, nghĩa là thu nhập tài chính thực hiện có thể khác biệt đáng kể so với lợi nhuận kỳ vọng.

Dòng dưới cùng:

Các mô hình toán học cung cấp một cơ chế tốt để định lượng một số biến với một con số, có thể theo dõi được. Nhưng do những hạn chế của các giả định, các mô hình có thể thất bại. Phân phối bình thường, tạo thành cơ sở của Lý thuyết Danh mục, có thể không nhất thiết áp dụng cho cổ phiếu và các mô hình giá tài sản tài chính khác. Lý thuyết danh mục đầu tư tự nó có rất nhiều giả định cần được kiểm tra kỹ lưỡng, trước khi đưa ra quyết định tài chính quan trọng.