Thật là khó để thống nhất về việc định giá chính xác bất kỳ tài sản nào có thể mua lại, ngay cả vào ngày hôm nay. Đó là lý do tại sao giá cổ phiếu liên tục thay đổi. Trong thực tế, công ty hầu như không thay đổi định giá của nó trên cơ sở hàng ngày, nhưng giá cổ phiếu và định giá của nó thay đổi mỗi giây. Điều này cho thấy khó khăn trong việc đạt được sự đồng thuận về giá hiện tại đối với bất kỳ tài sản có thể mua lại nào, dẫn đến các cơ hội chênh lệch. Tuy nhiên, những cơ hội chênh lệch này thực sự ngắn ngủi.
Tất cả đã giảm xuống mức định giá hiện tại - mức giá hiện tại là bao nhiêu cho một khoản lợi tức trong tương lai?
Trong một thị trường cạnh tranh, để tránh cơ hội chênh lệch, tài sản có cấu trúc hoàn trả giống nhau phải có cùng giá. Việc đánh giá các lựa chọn là một nhiệm vụ đầy thách thức và có sự khác biệt về giá cả trong việc định giá dẫn đến các cơ hội chênh lệch. Black-Scholes vẫn là một trong những mô hình phổ biến nhất được sử dụng cho các lựa chọn giá cả, nhưng có những hạn chế riêng của nó. (Để biết thêm thông tin, xem: Tùy chọn Giá ). Mô hình định giá quyền chọn lọc là một phương pháp phổ biến khác được sử dụng để định giá. Bài viết này bàn về một vài ví dụ từng bước toàn diện và giải thích khái niệm cơ bản về rủi ro cơ bản trong việc áp dụng mô hình này. (Để đọc có liên quan, xem: Phá vỡ mô hình nhị phân thành giá trị Một Option ).
Bài viết này giả định sự quen thuộc của người dùng với các tùy chọn và các khái niệm và thuật ngữ có liên quan.
Giả sử tồn tại một lựa chọn cuộc gọi trên một cổ phiếu cụ thể mà giá thị trường hiện tại là 100 đô la. Tùy chọn ATM có giá đình công là 100 đô la với thời gian hết hạn một năm. Có hai thương nhân, Peter và Paul, cả hai đều đồng ý rằng giá cổ phiếu sẽ tăng lên 110 đô la hoặc giảm xuống còn 90 đô la trong một năm. Cả hai đều đồng ý về mức giá dự kiến trong một khoảng thời gian nhất định trong một năm, nhưng không đồng ý về xác suất di chuyển lên (và di chuyển xuống). Peter tin rằng xác suất giá cổ phiếu sẽ là 110 đô la là 60%, trong khi Paul tin rằng nó là 40%.
Dựa trên những điều trên, ai sẽ sẵn sàng trả giá nhiều hơn cho các lựa chọn cuộc gọi?
Có thể là Peter, vì anh ta kỳ vọng khả năng di chuyển lên cao.
Hãy xem tính toán để xác minh và hiểu điều này. Hai tài sản mà trên đó giá trị phụ thuộc vào quyền chọn mua và cổ phiếu cơ bản. Có một thỏa thuận giữa những người tham gia rằng giá cổ phiếu cơ bản có thể di chuyển từ 100 đô la hiện nay xuống còn 110 đô la hoặc 90 đô la trong một năm và không thể di chuyển giá khác.
Trong một thế giới không có chiêu thức, nếu chúng ta phải tạo ra một danh mục đầu tư bao gồm hai tài sản này (quyền chọn mua và cổ phiếu cơ bản) sao cho bất kể mức giá cơ bản ($ 110 hay $ 90) vẫn như cũ.Giả sử chúng ta mua 'd' cổ phần của một trong những cơ bản và ngắn một cuộc gọi tùy chọn để tạo danh mục đầu tư này.
Nếu giá chuyển sang $ 110, cổ phiếu của chúng tôi sẽ có giá trị $ 110 * d và chúng tôi sẽ mất $ 10 khi trả tiền cuộc gọi ngắn. Giá trị ròng của danh mục đầu tư sẽ là (110d - 10).
Nếu giá giảm xuống còn 90 USD, cổ phiếu của chúng tôi sẽ có giá 90 USD / d và quyền chọn sẽ hết hạn vô giá trị. Giá trị ròng của danh mục đầu tư sẽ là (90d).
Nếu chúng ta muốn giá trị của danh mục đầu tư của chúng tôi vẫn giữ nguyên, không phân biệt giá bất động sản nằm ở đâu, thì giá trị danh mục của chúng tôi vẫn như cũ trong cả hai trường hợp, i. e. :
=> (110d - 10) = 90d
=> d = ½
i. e. nếu chúng ta mua một nửa cổ phần (giả sử mua phân đoạn là có thể), chúng ta sẽ tạo ra một danh mục đầu tư sao cho giá trị của nó vẫn giữ nguyên ở cả hai quốc gia trong khoảng thời gian nhất định trong một năm. (điểm 1)
Giá trị danh mục đầu tư, được chỉ ra bởi (90d) hoặc (110d -10) = 45, là một năm xuống dòng. Để tính giá trị hiện tại, nó có thể được chiết khấu theo tỷ suất lợi nhuận phi rủi ro (giả định 5%).
= 90d * exp (-5% * 1 năm) = 45 * 0.9523 = 42.85 => Giá trị hiện tại của danh mục đầu tư
Vì hiện tại, danh mục đầu tư bao gồm ½ cổ phần của cổ phiếu cơ bản ( với giá thị trường $ 100) và 1 cuộc gọi ngắn, nó phải bằng với giá trị hiện tại được tính toán ở trên i. e.
=> 1/2 * 100 - 1 * giá gọi = 42. 85
=> Giá gọi = 7 Đô la Mỹ. 14 i. e. giá gọi vào ngày hôm nay.
Vì điều này dựa trên giả định trên rằng giá trị danh mục vẫn giữ nguyên không phân biệt mức giá nào đi theo (điểm 1 ở trên), xác suất di chuyển lên hoặc xuống không có vai trò gì ở đây. Danh mục đầu tư vẫn không có rủi ro, không phân biệt với những biến động về giá.
Trong cả hai trường hợp (giả định tăng lên đến 110 đô la và giảm xuống 90 đô la Mỹ), danh mục đầu tư của chúng tôi là trung lập với rủi ro và có được mức lãi suất không rủi ro.
Do đó cả thương nhân, Peter và Paul, sẽ sẵn sàng trả cùng một $ 7. 14 cho tùy chọn cuộc gọi này, bất kể nhận thức của họ về xác suất di chuyển lên (60% và 40%). Xác suất nhận được riêng lẻ của họ không đóng vai trò nào trong việc định giá tùy chọn, như trong ví dụ trên.
Nếu giả sử rằng các xác suất cá nhân có vấn đề, sau đó sẽ có những cơ hội chênh lệch. Trong thế giới thực, các cơ hội chênh lệch đó tồn tại với sự khác biệt nhỏ về giá và biến mất trong một thời gian ngắn.
Nhưng sự biến động hyped trong các phép tính này là một yếu tố quan trọng (và nhạy cảm nhất) có ảnh hưởng đến giá cả ở đâu?
Sự biến động đã được bao gồm bởi bản chất của việc xác định vấn đề. Hãy nhớ rằng chúng ta giả sử hai (và chỉ hai - và do đó tên gọi là "nhị thức") của các mức giá ($ 110 và $ 90). Sự biến động là tiềm ẩn trong giả định này và do đó tự động bao gồm - 10% cả hai cách (trong ví dụ này).
Bây giờ chúng ta hãy kiểm tra tính hợp lý để xem liệu cách tiếp cận của chúng tôi có chính xác và chặt chẽ với giá cả được sử dụng phổ biến ở Black-Scholes không. (Xem: Mô hình Đánh giá Tùy chọn Black-Scholes ).
Dưới đây là ảnh chụp màn hình của các kết quả máy tính tùy chọn (do OIC cung cấp), gần với giá trị tính toán của chúng tôi.
Thật không may, thế giới thực không đơn giản như "chỉ hai trạng thái". Có một vài mức giá mà cổ phiếu có thể đạt được cho đến khi hết hạn.
Có thể bao gồm tất cả các cấp đa cấp này trong mô hình định giá nhị thức của chúng tôi, chỉ được giới hạn ở hai cấp độ? Có, nó là rất có thể, và để hiểu nó, chúng ta hãy vào một số toán học đơn giản.
Một vài bước tính toán trung gian được bỏ qua để giữ cho nó tóm tắt và tập trung vào kết quả.
Để tiếp tục tiến hành, hãy tổng quát hóa vấn đề và giải pháp:
'X' là giá thị trường hiện tại của cổ phiếu và 'X * u' và 'X * d' là giá tương lai cho những động thái tăng và giảm ' Nhiều năm sau. Yếu tố 'u' sẽ lớn hơn 1 vì nó cho biết di chuyển và 'd' sẽ nằm giữa 0 và 1. Ví dụ trên, u = 1. 1 và d = 0. 9.
Các khoản hoàn trả quyền chọn cuộc gọi là 'P lên ' và 'P dn ' đối với di chuyển lên và xuống tại thời điểm hết hạn.
Nếu chúng ta xây dựng một danh mục đầu tư của cổ phiếu được mua vào ngày hôm nay và chọn một cuộc gọi ngắn, thì sau thời gian 't':
Giá trị của danh mục trong trường hợp di chuyển lên = s * X * u - P Giá trị của danh mục đầu tư trong trường hợp di chuyển xuống = s * X * d - P
dn Đối với định giá tương tự trong trường hợp di chuyển giá,
=> s * X * u - P < dn
=> s = (P lên - P dn
) / (X * (ud )) = không. số cổ phần mua vào danh mục đầu tư rủi ro Giá trị tương lai của danh mục đầu tư vào cuối năm sẽ là Trong trường hợp di chuyển lên = s * X * u - P lên = (P
lên
- P dn ) / (X (ud)) * X * u - P lên Giá trị ngày nay ở trên có thể lấy được bằng cách chiết khấu nó có tỷ suất lợi nhuận phi rủi ro: Điều này phải phù hợp với việc nắm giữ cổ phiếu của cổ phiếu với giá X, và giá trị gọi ngắn 'c' i. e. việc giữ ngày hôm nay của (s * X - c) phải tương đương với ở trên. Giải quyết cho c cuối cùng cho c như sau: NẾU CHÚNG TÔI CÓ THỂ CÙNG PREMIUM CÓ THỂ BỔ SUNG ĐỂ ĐƯỢC TUYỂN DỤNG. Một cách khác để viết phương trình trên bằng cách sắp xếp lại nó như sau:
Lấy q như
thì phương trình trên sẽ trở thành
Việc sắp xếp lại phương trình theo "q" đã đưa ra một quan điểm mới.
"q" bây giờ có thể được hiểu là xác suất di chuyển lên của cơ sở (như "q" có liên quan với P
lên
và "1-q" có liên quan đến P
dn
). Nói chung, phương trình trên thể hiện giá lựa chọn ngày nay i. e. giá trị chiết khấu của khoản hoàn trả của nó khi hết hạn. Xác suất này "q" khác với xác suất di chuyển lên hay xuống của cơ sở? Giá trị của giá cổ phiếu tại thời điểm t = q * X * u + (1-q) * X * d Thay giá trị của q và sắp xếp lại, giá cổ phiếu tại thời điểm t đến i . e. trong thế giới giả định này của hai quốc gia, giá cổ phiếu chỉ đơn giản tăng theo tỷ suất lợi nhuận phi rủi ro, i. e. chính xác như một tài sản phi rủi ro và do đó nó vẫn độc lập với bất kỳ rủi ro nào.Tất cả các nhà đầu tư đều thờ ơ với rủi ro theo mô hình này, và điều này tạo thành mô hình trung lập rủi ro.
Xác suất "q" và "(1-q)" được gọi là các xác suất trung hòa rủi ro và phương pháp định giá được gọi là mô hình định giá rủi ro rủi ro.
Ví dụ trên có một yêu cầu quan trọng - cơ cấu hoàn trả trong tương lai được yêu cầu với độ chính xác (mức $ 110 và $ 90). Trong đời sống thực tế, không rõ ràng về mức giá dựa trên bước cơ bản; thay vì giá di chuyển ngẫu nhiên và có thể giải quyết ở nhiều cấp độ.
Chúng ta hãy mở rộng ví dụ thêm nữa. Giả định rằng mức giá hai bước là có thể. Chúng ta biết được kết quả cuối cùng của bước 2 và chúng ta cần phải đánh giá giá trị ngày hôm nay (tức là bước ban đầu)
Làm việc ngược trở lại, việc định giá bước đầu tiên ở mức t = 1 có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các khoản hoàn trả cuối cùng ở bước hai (t = 2), và sau đó sử dụng các giá trị bước đầu tiên được tính toán (t = 1), việc tính giá trị ngày nay (t = 0) có thể đạt được bằng cách tính toán trên.
Để có được giá tùy chọn không. 2, các khoản hoàn trả ở mức 4 và 5 được sử dụng. Để có được giá không. 3, phần thưởng 5 và 6 được sử dụng. Cuối cùng, lợi nhuận tính toán ở mức 2 và 3 được sử dụng để lấy giá ở mức không. 1.
Xin lưu ý rằng ví dụ của chúng tôi giả định cùng một yếu tố cho lên (và xuống) di chuyển ở cả hai bước - u (và d) được áp dụng trong thời trang phức tạp.
Đây là một ví dụ làm việc với các tính toán:
Giả sử một quyền chọn bán với giá đình công 110 đô la hiện đang giao dịch ở mức 100 đô la và hết hạn trong một năm. Tỷ lệ không có rủi ro hàng năm là 5%. Giá dự kiến sẽ tăng 20% và giảm khoảng 15% mỗi sáu tháng một lần.
Hãy cấu trúc vấn đề:
Ở đây, u = 1. 2 và d = 0. 85, X = 100, t = 0.
chúng ta nhận được giá trị Q = 0.35802832
giá trị của lựa chọn put tại điểm 2,
Tại điều kiện P
upup
, giá trị cơ bản sẽ là = 100 * 1. 2 * 1. 2 = $ 144 dẫn đến P
= 0
Ở điều kiện P updn , mức cơ bản sẽ là = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102 dẫn đến P updn = $ 8
Tại điều kiện P dndn , giá trị cơ bản sẽ = 100 * 0. 85 * 0. 85 = 72 đô la. 25 dẫn đến P dndn = 37 đô la. 75
p 2 = 0. 975309912 * (0 35802832 * 0 + (1-0 .35802832) * 8) = 5.008970741 Tương tự, p 3 > = 0.975309912 * (0 35802832 * 8 + (1-035802832) * 37.75) = 26. 42958924
Và do đó giá trị của lựa chọn put, p 1 = 0. 975309912 * (0 35802832 * 5 .008970741+ (1-0. 35802832) * 26. 42958924) =
18 đô la. 29. Tương tự, các mô hình nhị thức cho phép một trong những để phá vỡ toàn bộ thời gian tùy chọn để tiếp tục tinh chế nhiều bước / các cấp. Sử dụng các chương trình máy tính hoặc bảng tính, người ta có thể làm việc ngược lại từng bước, để có được giá trị hiện tại của lựa chọn mong muốn. Chúng ta hãy kết luận với một ví dụ khác liên quan đến ba bước cho việc định giá trị giá trị nhị thức:
Giả sử một lựa chọn bán theo kiểu châu Âu, có 9 tháng để hết hạn với mức giá 12 đô la và giá cơ bản hiện tại là 10 đô la. Giả sử tỷ lệ không có rủi ro là 5% cho tất cả các giai đoạn. Giả sử mỗi 3 tháng, giá cơ bản có thể di chuyển 20% lên hoặc xuống, cho chúng ta u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. Cây nhị phân 25 và 3 bước. Các con số có màu đỏ cho thấy giá cơ bản, trong khi màu xanh dương cho thấy lợi ích của quyền chọn mua. Xác suất trung bình rủi ro q tính đến 0. 531446. Sử dụng giá trị q và payoff trên t = 9 tháng, các giá trị tương ứng tại t = 6 tháng được tính như sau:
Hơn nữa, sử dụng các các giá trị tính toán tại t = 6, các giá trị tại t = 3 và sau đó tại t = 0 là:
cho giá trị hiện tại của phương án put là $ 2. 18, khá gần với mô hình sử dụng mô hình Black-Scholes ($ 2. 3)
Dãi dưới cùng
Mặc dù việc sử dụng các chương trình máy tính có thể làm cho những tính toán thâm canh này trở nên dễ dàng, dự đoán về giá cả trong tương lai vẫn còn một hạn chế lớn của các mô hình nhị thức để định giá quyền. Càng dài khoảng thời gian, càng khó khăn hơn để dự đoán chính xác mức hoàn trả vào cuối mỗi khoảng thời gian. Tuy nhiên, tính linh hoạt để kết hợp các thay đổi như mong đợi ở các thời kỳ khác nhau là một cộng thêm vào, làm cho nó phù hợp để định giá các lựa chọn của Mỹ, bao gồm cả việc định giá tập thể dục sớm. Các giá trị được tính bằng cách sử dụng mô hình nhị thức chặt chẽ với các mẫu được tính từ các mô hình sử dụng phổ biến khác như Black-Scholes, cho thấy tính hữu ích và tính chính xác của các mô hình nhị thức để định giá quyền. Các mô hình định giá hai chiều có thể được phát triển theo sự ưu tiên của thương nhân và hoạt động như một giải pháp thay thế cho Black-Scholes.